Muokataan sivua Hamiltonin liikeyhtälöt Legendren muunnoksella

Matemaattisesti, siirtyminen Lagrangen formalismista Hamiltonin formalismiin vastaa muuttujien vaihtoa 
:::<math>(q,\dot{q},t) \quad \rightarrow \quad (q,p,t)</math>. 


Lähtökohtana on Eulerin-Lagrangen yhtälö: </br>

:::<math>\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 </math>


missä <math>L(q_i,\dot{q}_i,t)</math> on Lagrangen funktio. Tämän kokonaisdifferentiaali

:::<math>dL =\frac{\partial L}{\partial q_i} dq_i +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} d\dot{q}_i 
+ \frac{\partial L}{\partial t} dt </math>


Määritellään (yleistetty) konjugoitu liikemäärä: <math>p_i = \frac{\partial L(q_j, \dot{q}_j, t)}{\partial \dot{q}_i}</math>,
jonka avulla voidaan Eulerin-Lagrangen yhtälö kirjoittaa muotoon

:::<math>\frac{d}{dt} (p_i) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \Rightarrow \quad \dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i} </math>


jolloin kokonaisdifferentiaali on puolestaan

:::<math>dL = \dot{p}_i dq_i + p_i d\dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial t} dt </math>


Hamiltonin funktio saadaan Legendren muunnoksesta


:::<math>H(q,p,t) = \dot{q}_i p_i - L(q,\dot{q},t) </math>,


jonka kokonaisdifferentiaali

:::<math>dH = \dot{q}_i dp_i + p_i d\dot{q}_i - \dot{p}_i dq_i - p_i d\dot{q}_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt 
</math>
:::<math> = \dot{q}_i dp_i - \dot{p}_i dq_i - \frac{\partial L}{\partial t}</math>,


Toisaalta <math>dH</math> voidaan kirjoittaa myös


:::<math>dH = \frac{\partial H}{\partial q_i} dq_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} dp_i + \frac{\partial H}{\partial t} dt</math>,


jolloin saadaan relaatiot: 


:::<math> \dot{q_i} = \frac{\partial H}{\partial p_i}</math> 

:::<math> \dot{p_i} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}</math>


jotka ovat Hamiltonin liikeyhtälöt, sekä relaatio:


:::<math> \frac{\partial L}{\partial t} = - \frac{\partial H}{\partial t}</math>.