Hamiltonin liikeyhtälöt Legendren muunnoksella

Matemaattisesti, siirtyminen Lagrangen formalismista Hamiltonin formalismiin vastaa muuttujien vaihtoa

<math>(q,\dot{q},t) \quad \rightarrow \quad (q,p,t)</math>.

Lähtökohtana on Eulerin-Lagrangen yhtälö:

<math>\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 </math>

missä <math>L(q_i,\dot{q}_i,t)</math> on Lagrangen funktio. Tämän kokonaisdifferentiaali

<math>dL =\frac{\partial L}{\partial q_i} dq_i +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} d\dot{q}_i

+ \frac{\partial L}{\partial t} dt </math>

Määritellään (yleistetty) konjugoitu liikemäärä: <math>p_i = \frac{\partial L(q_j, \dot{q}_j, t)}{\partial \dot{q}_i}</math>, jonka avulla voidaan Eulerin-Lagrangen yhtälö kirjoittaa muotoon

<math>\frac{d}{dt} (p_i) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \Rightarrow \quad \dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i} </math>

jolloin kokonaisdifferentiaali on puolestaan

<math>dL = \dot{p}_i dq_i + p_i d\dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial t} dt </math>

Hamiltonin funktio saadaan Legendren muunnoksesta

<math>H(q,p,t) = \dot{q}_i p_i - L(q,\dot{q},t) </math>,

jonka kokonaisdifferentiaali

<math>dH = \dot{q}_i dp_i + p_i d\dot{q}_i - \dot{p}_i dq_i - p_i d\dot{q}_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt

</math>

<math> = \dot{q}_i dp_i - \dot{p}_i dq_i - \frac{\partial L}{\partial t}</math>,

Toisaalta <math>dH</math> voidaan kirjoittaa myös

<math>dH = \frac{\partial H}{\partial q_i} dq_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} dp_i + \frac{\partial H}{\partial t} dt</math>,

jolloin saadaan relaatiot:

<math> \dot{q_i} = \frac{\partial H}{\partial p_i}</math>

<math> \dot{p_i} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}</math>

jotka ovat Hamiltonin liikeyhtälöt, sekä relaatio:

<math> \frac{\partial L}{\partial t} = - \frac{\partial H}{\partial t}</math>.