Varausjakautuman aiheuttaman sähkökentän potentiaalin multipoliesitys

Diskreetti varausjakautuma: Pistemäiset varaukset <math> \textrm{Q}_1</math>,<math> \textrm{Q}_2</math>,..., <math> \textrm{Q}_n</math>

Tiedosto:Multipoli kuva1.JPG

Aikaisempien tulosten mukaan potentiaali pisteessä P

<math>

\textrm{V} = \frac {1}{4\pi\epsilon_0} \sum^n_{i=1} \frac {\textrm{Q}_i}{r} </math>

Kuvan mukaan

<math>

r^2=r^2_i+R^2-2r_iRcos\Theta_i=r^2_i+R^2-2\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{R} </math>

<math>

\frac{1}{r}=(r^2_i+R^2-2r_iRcos\Theta_i)^{-\frac{1}{2}} </math>

<math>

=\frac{1}{R}(1+\frac{r^2_i}{R^2}-2\frac{r_i}{R}cos\Theta_i)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{R} (1+\Delta)^{-\frac{1}{2}} </math>

Oletetaan, että P-piste on kaukana siten, että <math>r_i << R</math>. Tällöin <math>\Delta<<1</math>, jolloin

<math>

\frac{1}{r}= \frac{1}{R} (1+\Delta)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{R}(1-\frac{1}{2}\Delta+\frac{3}{8}\Delta^2-\ldots) </math>

Sijoittamalla 1/r:n lauseke sarjan muodossa V:n lausekkeeseen ja ryhmittelemällä termit 1/R:n kasvavan potenssin mukaiseen järjestykseen saadaan

<math>

\textrm{V} = \frac {1}{4\pi\epsilon_0} \left\{ \frac{1}{R} \sum^n_{i=1} \textrm{Q}_i +\frac{1}{R^2}\sum^n_{i=1} \textrm{Q}_ir_1cos\Theta_i +\frac{1}{R^3}\sum^n_{i=1} \frac {1}{2} \left[\textrm{Q}_ir_1^2(3cos^2\Theta_i-1)\right] +\ldots \right\}

</math>

<math>

=\textrm{V} = \frac {1}{4\pi\epsilon_0} \left\{ \frac{1}{R} \sum^n_{i=1} \textrm{Q}_i +\frac{1}{R^3} \sum^n_{i=1}\textrm{Q}_i\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{R} +\frac{1}{R^5} \sum^n_{i=1}\frac{1}{2}\left[3 \textrm{Q}_i(\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{R})^2 - \textrm{Q}_ir_i^2R^2\right] +\ldots \right\} </math>

Tällöin

<math>\textrm{V}=\textrm{V}_0 + \textrm{V}_1 + \textrm{V}_2+ \cdots</math>